Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим ромб $ABCD$. По условию диагональ $AC = 30$. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $BOC$ является прямоугольным ($\angle BOC = 90^\circ$), а отрезок $OC = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

2. В прямоугольном треугольнике $BOC$ нам дан тангенс угла $BCA$. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике: $\text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC}$. Подставим известные значения: $\frac{4}{3} = \frac{BO}{15}$. Отсюда находим катет $BO$: $BO = 15 \cdot \frac{4}{3} = 5 \cdot 4 = 20$.

3. Теперь найдем гипотенузу $BC$ треугольника $BOC$ (сторону ромба) по теореме Пифагора: $BC^2 = BO^2 + OC^2$ $BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$ $BC = \sqrt{625} = 25$.

4. Радиус $r$ вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника $BOC$, опущенной из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу $BC$. Площадь треугольника $BOC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC$ и $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$. Приравнивая эти выражения, получаем формулу для радиуса: $r = \frac{BO \cdot OC}{BC}$.

5. Вычислим значение радиуса: $r = \frac{20 \cdot 15}{25} = \frac{300}{25} = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ