Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи трапеция $A B C D$ является равнобедренной. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. Следовательно, угол при основании $A D$ равен углу при основании $D$:
$\angle B A D = \angle D = 48^{\circ}$.

2) Так как луч $A C$ является биссектрисой угла $B A D$, он делит этот угол на две равные части. Найдём величину угла $C A D$:
$\angle C A D = \frac{1}{2} \cdot \angle B A D = \frac{1}{2} \cdot 48^{\circ} = 24^{\circ}$.

3) В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, так как это односторонние углы при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне). Рассмотрим боковую сторону $C D$:
$\angle B C D + \angle D = 180^{\circ}$.
Отсюда найдём тупой угол трапеции $\angle B C D$:
$\angle B C D = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ}$.

4) Основания трапеции $B C$ и $A D$ параллельны. Углы $B C A$ и $C A D$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $B C$ и $A D$ и секущей $A C$. Следовательно, они равны:
$\angle B C A = \angle C A D = 24^{\circ}$.

5) Угол $B C D$ состоит из суммы двух углов: $B C A$ и $A C D$. Чтобы найти искомый угол $A C D$, вычтем из целого угла его известную часть:
$\angle A C D = \angle B C D - \angle B C A = 132^{\circ} - 24^{\circ} = 108^{\circ}$.

Ответ: 108

Источник: ФИПИ