Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1. По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$. Следовательно, меньший отрезок $HD = 3$, а больший отрезок $AH = 8$.

2. Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Это значит, что отрезки $AK$ и $HD$ будут равны: $AK = HD = 3$.

3. Отрезок $AH$, длина которого нам известна ($AH = 8$), состоит из двух частей: $AK$ и $KH$. То есть:
$AH = AK + KH$.

4. Подставим известные значения:
$8 = 3 + KH$, откуда получаем $KH = 8 - 3 = 5$.

5. Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ