Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что высота проведена ближе к правому углу, значит, меньший отрезок $HD = 2$, а больший отрезок $AH = 7$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, отрезки, отсекаемые высотами у углов при основании, равны: $AK = HD = 2$.

3) Теперь рассмотрим отрезок $AH$. Мы знаем, что $AH = 7$. Также из рисунка видно, что отрезок $AH$ состоит из суммы двух отрезков: $AK$ и $KH$. Тогда:
$KH = AH - AK = 7 - 2 = 5$.

4) Четырёхугольник $BKHC$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ