Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим свойства ромба и проведём необходимые рассуждения по шагам.

1) Пусть нам дан ромб $ABCD$. По условию один из его углов равен $126^{\circ}$. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, мы можем найти второй угол ромба: $180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$. Таким образом, у ромба два тупых угла по $126^{\circ}$ и два острых угла по $54^{\circ}$.

2) На рисунке изображена большая диагональ ромба. Известно, что большая диагональ соединяет вершины острых углов. Значит, углы ромба, через которые проходит эта диагональ, равны $54^{\circ}$.

3) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, большая диагональ делит острый угол $54^{\circ}$ пополам. Угол между диагональю и стороной ромба равен: $54^{\circ} : 2 = 27^{\circ}$.

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ромба, частью стороны и частью диагонали (или воспользуемся свойством углов с соответственно перпендикулярными сторонами). На рисунке мы видим искомый угол между высотой и диагональю.

5) Высота ромба перпендикулярна его стороне (образует угол $90^{\circ}$). В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов — это угол между диагональю и стороной ($27^{\circ}$), второй острый угол будет искомым углом между высотой и диагональю. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$.

6) Вычислим искомый угол: $90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ}$.

Ответ: 63

Источник: ФИПИ