Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Вспомним определение и свойства ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^{\circ}$, так как это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

2) По условию острый угол ромба равен $40^{\circ}$. Найдём тупой угол ромба. Для этого из $180^{\circ}$ вычтем известный острый угол:
$180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

3) Меньшая диагональ ромба соединяет вершины тупых углов. На рисунке мы видим, что искомый угол — это угол между стороной ромба и его меньшей диагональю. Эта диагональ делит тупой угол ромба пополам, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4) Таким образом, чтобы найти угол между стороной и меньшей диагональю, нужно разделить тупой угол ромба на $2$:
$140^{\circ} : 2 = 70^{\circ}$.

5) Также это можно доказать через равнобедренный треугольник. Меньшая диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника (так как все стороны ромба равны). В таком треугольнике углы при основании (которые и являются углами между стороной и диагональю) равны. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, угол при вершине равен $40^{\circ}$. Тогда углы при основании равны:
$(180^{\circ} - 40^{\circ}) : 2 = 140^{\circ} : 2 = 70^{\circ}$.

Ответ: 70

Источник: ФИПИ