Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим свойства ромба и проведём необходимые вычисления по шагам.

1) Пусть дан ромб $ABCD$. По условию один из его углов равен $146^{\circ}$. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, мы можем найти второй (острый) угол ромба:
$180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ}$.
Таким образом, тупые углы ромба равны $146^{\circ}$, а острые — $34^{\circ}$.

2) Вспомним свойство диагоналей ромба: диагонали являются биссектрисами его углов. Большая диагональ ромба проходит через вершины острых углов. Значит, она делит острый угол $34^{\circ}$ пополам:
$34^{\circ} : 2 = 17^{\circ}$.

3) На рисунке изображена высота ромба, проведённая из вершины тупого угла к противоположной стороне, и большая диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью стороны ромба и отрезком диагонали. Однако проще рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, а угол между высотой и стороной ромба дополняет острый угол до $90^{\circ}$.

4) Рассмотрим треугольник, образованный большой диагональю, высотой и частью стороны ромба. Угол между большой диагональю и стороной ромба мы уже нашли, он равен $17^{\circ}$. Высота ромба перпендикулярна стороне. Искомый угол — это угол между этой высотой и диагональю.

5) В прямоугольном треугольнике (образованном высотой и диагональю, пересекающимися в одной вершине или образующими треугольник с основанием на стороне) сумма острых углов равна $90^{\circ}$. Если один из углов (между диагональю и стороной) равен $17^{\circ}$, то искомый угол между высотой и диагональю равен:
$90^{\circ} - 17^{\circ} = 73^{\circ}$.

Ответ: 73

Источник: ФИПИ