Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC = 2$ — меньшее основание, $AD = 5$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$. По условию угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Высота $CH$ перпендикулярна основанию, значит, треугольник $ACH$ является прямоугольным ($\angle CHA = 90^\circ$).

2) В прямоугольном треугольнике $ACH$ один из острых углов $\angle CAH = 45^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно, второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании $AC$ равны, треугольник $ACH$ — равнобедренный, и его катеты равны: $CH = AH$.

3) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший — их полуразности. Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{AD + BC}{2}$ $AH = \frac{5 + 2}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.

4) Так как мы ранее установили, что в треугольнике $ACH$ высота $CH$ равна отрезку $AH$, то: $CH = AH = 3,5$.

Таким образом, высота трапеции равна 3,5.

Ответ: 3,5

Источник: ФИПИ