Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию задачи синус угла между стороной и диагональю равен $0,28$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Тогда $\sin \alpha = 0,28$.

2. Вспомним свойство описанной окружности: для прямоугольника центр описанной окружности лежит в точке пересечения его диагоналей, а диаметр этой окружности равен диагонали прямоугольника. Следовательно, диагональ $d = 25$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и его диагональю. В этом треугольнике синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе (диагонали). Пусть сторона $a$ — противолежащий катет. Тогда:
$a = d \cdot \sin \alpha = 25 \cdot 0,28 = 7$.

4. Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $b$ (прилежащий катет). По теореме Пифагора:
$b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.

5. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = a \cdot b = 7 \cdot 24 = 168$.

Ответ: 168

Источник: ФИПИ