Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C, D$. Пусть $AC$ — диагональ прямоугольника. По условию, синус угла между стороной и диагональю равен $0{,}6$. Пусть это будет угол $\angle BAC$, тогда $\sin \angle BAC = 0{,}6$.

2) Вспомним важное свойство: около любого прямоугольника можно описать окружность, причём её диаметр равен диагонали этого прямоугольника. Это происходит потому, что углы прямоугольника прямые ($90^\circ$), а прямой вписанный угол всегда опирается на диаметр. Значит, диагональ $AC = 5$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $BC$ является противолежащим катетом для угла $\angle BAC$, а диагональ $AC$ — гипотенузой. По определению синуса: $\sin \angle BAC = \frac{BC}{AC}$. Подставим известные значения: $0{,}6 = \frac{BC}{5}$. Отсюда находим сторону $BC$: $BC = 5 \cdot 0{,}6 = 3$.

4) Теперь найдём вторую сторону прямоугольника $AB$ (прилежащий катет). Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABC$: $AB^2 + BC^2 = AC^2$. $AB^2 + 3^2 = 5^2$, $AB^2 + 9 = 25$, $AB^2 = 25 - 9 = 16$, $AB = \sqrt{16} = 4$.

5) Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон: $S = AB \cdot BC$. $S = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ