Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Точка $O$ является серединой стороны $C D$ квадрата $A B C D$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $\frac{\sqrt{5}}{2}$ . Найдите площадь квадрата $A B C D$ .

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$ . Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$ . Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$ .

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$ . Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{C D}{2} = \frac{a}{2}$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ . Угол $D$ в нём прямой ( $90^\circ$ ), так как это угол квадрата. В этом треугольнике:
— катет $A D = a$ ;
— катет $O D = \frac{a}{2}$ ;
— гипотенуза $A O$ является радиусом окружности, так как окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$ .

4. По условию радиус окружности $R = A O = \frac{\sqrt{5}}{2}$ . Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$ : $A O^2 = A D^2 + O D^2$ .

5. Подставим известные значения в уравнение: $(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2$ .
Возведём дроби в квадрат: $\frac{5}{4} = a^2 + \frac{a^2}{4}$ .

6. Приведём правую часть уравнения к общему знаменателю: $\frac{5}{4} = \frac{4a^2 + a^2}{4}$ ;
$\frac{5}{4} = \frac{5a^2}{4}$ .

7. Умножим обе части уравнения на $4$ : $5 = 5a^2$ .
Отсюда находим квадрат стороны: $a^2 = 1$ .

8. Так как площадь квадрата $S = a^2$ , то $S = 1$ .

Ответ: 1

Источник: ФИПИ