Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{C D}{2} = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. Угол $D$ в нём прямой ($90^\circ$), так как это угол квадрата. В этом треугольнике:
— катет $A D = a$;
— катет $O D = \frac{a}{2}$;
— гипотенуза $A O$ является радиусом окружности, так как окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$.

4. По условию радиус окружности $R = A O = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$: $A O^2 = A D^2 + O D^2$.

5. Подставим известные значения в уравнение: $(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2$.
Возведём дроби в квадрат: $\frac{5}{4} = a^2 + \frac{a^2}{4}$.

6. Приведём правую часть уравнения к общему знаменателю: $\frac{5}{4} = \frac{4a^2 + a^2}{4}$;
$\frac{5}{4} = \frac{5a^2}{4}$.

7. Умножим обе части уравнения на $4$: $5 = 5a^2$.
Отсюда находим квадрат стороны: $a^2 = 1$.

8. Так как площадь квадрата $S = a^2$, то $S = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ