Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольник, вписанный в окружность. Важным свойством является то, что диагональ прямоугольника совпадает с диаметром описанной около него окружности. По условию диаметр равен 25, следовательно, диагональ прямоугольника $d = 25$.

2. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Пусть $\alpha$ — угол между стороной и диагональю прямоугольника. По условию $\sin \alpha = 0,96$.

3. В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда для угла $\alpha$ противолежащей стороной будет, например, сторона $a$, а гипотенузой — диагональ $d$:
$\sin \alpha = \frac{a}{d}$.
Отсюда находим сторону $a$:
$a = d \cdot \sin \alpha = 25 \cdot 0,96 = 24$.

4. Теперь найдём вторую сторону прямоугольника $b$. По теореме Пифагора:
$a^2 + b^2 = d^2$.
$24^2 + b^2 = 25^2$.
$576 + b^2 = 625$.
$b^2 = 625 - 576 = 49$.
$b = \sqrt{49} = 7$.

5. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = a \cdot b$.
$S = 24 \cdot 7 = 168$.

Ответ: 168

Источник: ФИПИ