Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и параллельных прямых.

1) По условию трапеция $ABCD$ является равнобедренной с основаниями $AD$ и $BC$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при вершине $C$ (весь угол $BCD$) и угол при вершине $B$ равны между собой, а также сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет $180^{\circ}$.

2) Найдём величину угла $BCD$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне $CD$, равна $180^{\circ}$ (как односторонние углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$), получаем:
$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle D$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$.

3) Нам известно, что диагональ $AC$ делит угол $BCD$ на две части. Одна из этих частей — угол $ACD$, который по условию равен $56^{\circ}$. Вторая часть — это искомый угол $BCA$ (угол между диагональю и меньшим основанием $BC$).

4) Чтобы найти угол $BCA$, нужно из величины всего угла $BCD$ вычесть величину угла $ACD$:
$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD$
$\angle BCA = 102^{\circ} - 56^{\circ} = 46^{\circ}$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ