Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дан ромб $ABCD$, в котором диагонали пересекаются в точке $O$. По условию одна из диагоналей $AC = 48$, а сторона ромба $AB = 25$.

Шаг 1. Найдём вторую диагональ ромба.
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$, где $\angle AOB = 90^\circ$.
Катет $AO = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24$.
По теореме Пифагора для треугольника $AOB$:
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$24^2 + OB^2 = 25^2$
$576 + OB^2 = 625$
$OB^2 = 625 - 576 = 49$
$OB = \sqrt{49} = 7$.
Следовательно, вторая диагональ $BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 7 = 14$.

Шаг 2. Найдём площадь ромба.
Площадь ромба можно вычислить как половину произведения его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336$.

Шаг 3. Найдём высоту ромба.
С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту $h$:
$S = AB \cdot h$
$336 = 25 \cdot h$
$h = \frac{336}{25} = 13,44$.

Шаг 4. Найдём радиус вписанной окружности.
Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, равен половине его высоты:
$r = \frac{h}{2} = \frac{13,44}{2} = 6,72$.

Ответ: 6,72

Источник: ФИПИ