Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции $ABCD$. По условию трапеция равнобедренная, значит, углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при большем основании $A$ равен углу при основании $D$:
$\angle BAD = \angle D = 80^\circ$.

2) Диагональ $AC$ делит угол $BAD$ на две части: угол $BAC$ и угол $CAD$. По условию задачи угол между диагональю и боковой стороной $AB$ равен $30^\circ$, то есть $\angle BAC = 30^\circ$.

3) Найдём вторую часть угла $A$ — угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$:
$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ$.

4) Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $BCA$ и $CAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

5) По свойству параллельных прямых накрест лежащие углы равны:
$\angle BCA = \angle CAD = 50^\circ$.

Угол $BCA$ и есть искомый угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$.

Ответ: 50

Источник: ФИПИ