Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$. Следовательно, меньший отрезок $HD = 3$, а больший отрезок $AH = 5$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут от большего основания два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Это значит, что отрезки, прилежащие к углам при основании, равны: $AK = HD = 3$.

3) Отрезок $KH$, лежащий между основаниями высот, равен меньшему основанию трапеции, так как $KBCH$ — прямоугольник. То есть $BC = KH$.

4) Мы знаем, что весь отрезок $AH$ состоит из суммы отрезков $AK$ и $KH$:
$AH = AK + KH$

5) Подставим известные значения в это уравнение:
$5 = 3 + KH$

6) Отсюда находим длину отрезка $KH$:
$KH = 5 - 3 = 2$

7) Так как $BC = KH$, то меньшее основание трапеции равно $2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ