Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$. По условию задачи основаниями являются $AD$ и $BC$, а углы при основании равнобедренной трапеции равны. Значит, угол при вершине $D$ равен углу при вершине $A$:
$\angle D = \angle A = 83^\circ$.

2) Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, так как основания $BC$ и $AD$ параллельны. Найдём угол $C$ (полный угол $BCD$):
$\angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ$.

3) По условию диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $51^\circ$. Это значит, что $\angle ACD = 51^\circ$. Чтобы найти угол между диагональю и меньшим основанием $BC$ (то есть угол $BCA$), нужно из всего угла $BCD$ вычесть известную часть $ACD$:
$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD = 97^\circ - 51^\circ = 46^\circ$.

4) Также это можно проверить через накрест лежащие углы. В треугольнике $ACD$ сумма углов равна $180^\circ$. Найдём угол $CAD$:
$\angle CAD = 180^\circ - (\angle D + \angle ACD) = 180^\circ - (83^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.
Так как $BC \parallel AD$, то угол $BCA$ и угол $CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны:
$\angle BCA = \angle CAD = 46^\circ$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ