Задание 17

Четырёхугольники и многоугольники · 357 заданий

Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 22, BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Сторона квадрата равна 11 √(2). Найдите диагональ этого квадрата.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники

Задание №17 — Геометрия

Точка $O$ является серединой стороны $C D$ квадрата $A B C D$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $\sqrt{10}$ . Найдите площадь квадрата $A B C D$ .

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$ . Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$ , а все углы прямые ( $90^{\circ}$ ).

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$ . Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата:
$O D = \frac{a}{2}$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ . В нём угол $D$ равен $90^{\circ}$ , так как это угол квадрата. Катетами треугольника являются отрезки $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$ . Гипотенузой является отрезок $A O$ .

4. Отрезок $A O$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$ , лежащей на окружности. Значит, $A O$ — это радиус окружности. По условию $R = \sqrt{10}$ , то есть $A O = \sqrt{10}$ .

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$ :
$A D^{2} + O D^{2} = A O^{2}$
Подставим известные значения через $a$ :
$a^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = (\sqrt{10})^{2}$
$a^{2} + \frac{a^{2}}{4} = 10$

6. Приведём уравнение к общему знаменателю:
$\frac{4a^{2} + a^{2}}{4} = 10$
$\frac{5a^{2}}{4} = 10$
$5a^{2} = 40$
$a^{2} = 8$

7. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^{2}$ . Мы уже нашли, что $a^{2} = 8$ . Следовательно, площадь квадрата $A B C D$ равна $8$ .

Ответ: 8

Источник: ФИПИ