Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A D = D C = C B = B A = a$, а все углы прямые ($90^{\circ}$).

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата:
$O D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. В нём угол $D$ равен $90^{\circ}$, так как это угол квадрата. Катетами треугольника являются отрезки $A D = a$ и $O D = \frac{a}{2}$. Гипотенузой является отрезок $A O$.

4. Отрезок $A O$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$, лежащей на окружности. Значит, $A O$ — это радиус окружности. По условию $R = \sqrt{10}$, то есть $A O = \sqrt{10}$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^{2} + O D^{2} = A O^{2}$
Подставим известные значения через $a$:
$a^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = (\sqrt{10})^{2}$
$a^{2} + \frac{a^{2}}{4} = 10$

6. Приведём уравнение к общему знаменателю:
$\frac{4a^{2} + a^{2}}{4} = 10$
$\frac{5a^{2}}{4} = 10$
$5a^{2} = 40$
$a^{2} = 8$

7. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^{2}$. Мы уже нашли, что $a^{2} = 8$. Следовательно, площадь квадрата $A B C D$ равна $8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ