Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим ромб. По условию один из его углов равен $122^{\circ}$. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, мы можем найти второй (острый) угол ромба:
$180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ}$.

2) На рисунке изображена большая диагональ ромба. Из свойств ромба мы знаем, что диагонали являются биссектрисами его углов. Большая диагональ соединяет вершины острых углов. Значит, она делит острый угол ромба пополам:
$58^{\circ} : 2 = 29^{\circ}$.

3) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ромба, частью стороны и искомым углом. Высота по определению перпендикулярна стороне ромба (образует угол $90^{\circ}$).

4) Искомый угол — это угол между высотой и большей диагональю. Обозначим его за $x$. В треугольнике, образованном высотой и диагональю, один из углов мы уже нашли (это половина острого угла ромба, равная $29^{\circ}$), а высота образует прямой угол с основанием.

5) Однако, если рассматривать прямоугольный треугольник, где гипотенузой является большая диагональ, то искомый угол $x$ и угол в $29^{\circ}$ являются острыми углами этого треугольника. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$.
Следовательно: $x = 90^{\circ} - 29^{\circ} = 61^{\circ}$.

Ответ: 61

Источник: ФИПИ