Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC = 3$ — меньшее основание, $AD = 5$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$. По условию угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $CHA = 90^\circ$. Так как $\angle CAH = 45^\circ$, то второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ACH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $CH = AH$. Таким образом, высота трапеции $CH$ равна отрезку $AH$.

2) Вспомним свойство равнобедренной трапеции: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший ($HD$) — их полуразности.

3) Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD + BC}{2}$
$AH = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

4) Так как мы ранее установили, что в треугольнике $ACH$ высота $CH = AH$, получаем:
$CH = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ