Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $A B C D$. По условию задачи основаниями являются $A D$ и $B C$, а боковые стороны равны ($A B = C D$).

2) Вспомним свойство равнобедренной трапеции: углы при каждом основании равны. Значит, угол при большем основании $A$ равен углу $D$:
$\angle A = \angle D = 64^{\circ}$.

3) Также в любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, так как это односторонние углы при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне). Найдём тупой угол $C$ (весь угол $B C D$):
$\angle B C D = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$.

4) По условию диагональ $A C$ образует со стороной $C D$ угол $81^{\circ}$. Это значит, что $\angle A C D = 81^{\circ}$.

5) Угол $B C D$ состоит из двух частей: искомого угла между диагональю и меньшим основанием ($\angle B C A$) и угла между диагональю и боковой стороной ($\angle A C D$). Чтобы найти $\angle B C A$, нужно из всего угла $B C D$ вычесть известную часть:
$\angle B C A = \angle B C D - \angle A C D$
$\angle B C A = 116^{\circ} - 81^{\circ} = 35^{\circ}$.

Ответ: 35

Источник: ФИПИ