Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим ромб. По условию один из его углов равен $150^{\circ}$. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, мы можем найти второй (острый) угол ромба:
$180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Большая диагональ ромба проходит через вершины острых углов. Значит, она делит острый угол $30^{\circ}$ пополам:
$30^{\circ} : 2 = 15^{\circ}$.
Таким образом, угол между большей диагональю и стороной ромба равен $15^{\circ}$.

3) На рисунке изображена высота ромба, проведенная из вершины тупого угла к стороне. Высота образует со стороной ромба прямой угол, то есть $90^{\circ}$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью стороны и отрезком диагонали (или воспользуемся свойством углов). Угол между высотой и стороной равен $90^{\circ}$. Угол между этой же стороной и диагональю, как мы выяснили, равен $15^{\circ}$.

5) Чтобы найти искомый угол между высотой и большей диагональю, нужно из прямого угла (между высотой и стороной) вычесть угол между диагональю и этой стороной:
$90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.

Ответ: 75

Источник: ФИПИ