Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба, а $OH$ — перпендикуляр, проведённый из этой точки к стороне ромба. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $40^{\circ}$. Пусть это будет угол между $OH$ и горизонтальной диагональю.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром $OH$, частью диагонали и частью стороны ромба. В этом треугольнике один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой равен $40^{\circ}$. Тогда третий угол этого треугольника (который является углом между диагональю и стороной ромба) равен:
$90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.

3) Вспомним важное свойство ромба: его диагонали являются биссектрисами его углов. Это значит, что угол между диагональю и стороной ромба равен половине целого угла ромба.

4) Если половина одного из углов ромба равна $50^{\circ}$, то весь этот угол равен:
$50^{\circ} \cdot 2 = 100^{\circ}$.
Этот угол тупой, так как он больше $90^{\circ}$.

5) Сумма соседних углов ромба (как и любого параллелограмма) равна $180^{\circ}$. Чтобы найти второй угол ромба, вычтем известный угол из $180^{\circ}$:
$180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

6) Полученный угол $80^{\circ}$ является острым (меньше $90^{\circ}$). Таким образом, острый угол ромба составляет $80^{\circ}$.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ