Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $BC = 3$ — меньшее основание, $AD = 9$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$. По условию угол между диагональю и основанием $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. Высота $CH$ перпендикулярна основанию, значит, треугольник $ACH$ является прямоугольным ($\angle CHA = 90^\circ$).

2) В прямоугольном треугольнике $ACH$ один из острых углов $\angle CAH = 45^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно, второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании $AC$ равны, треугольник $ACH$ — равнобедренный. Значит, высота $CH$ равна отрезку $AH$: $CH = AH$.

3) Вспомним свойство равнобедренной трапеции: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший — их полуразности. Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD + BC}{2}$
$AH = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

4) Так как мы ранее установили, что в треугольнике $ACH$ высота $CH = AH$, то получаем:
$CH = 6$.

Таким образом, высота трапеции равна 6.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ