Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC = 2$ — меньшее основание, $AD = 7$ — большее основание. Проведём диагональ $AC$, которая по условию образует с основанием $AD$ угол $\angle CAD = 45^\circ$.

1) Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Высота $CH$ перпендикулярна основанию, значит, треугольник $ACH$ является прямоугольным ($\angle CHA = 90^\circ$).

2) В прямоугольном треугольнике $ACH$ один из острых углов $\angle CAD = 45^\circ$. Следовательно, второй острый угол $\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании $AC$ равны, треугольник $ACH$ — равнобедренный, и его катеты равны: $CH = AH$. Таким образом, высота трапеции равна отрезку $AH$.

3) Вспомним свойство равнобедренной трапеции: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков ($AH$) равен полусумме оснований, а меньший — их полуразности. Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD + BC}{2}$

4) Подставим известные значения оснований:
$AH = \frac{7 + 2}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

5) Так как мы ранее установили, что высота $CH = AH$, то высота трапеции равна $4,5$.

Ответ: 4,5

Источник: ФИПИ