Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции. Известно, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при большем основании $A$ равен углу $D$:
$\angle BAD = \angle D = 78^\circ$.

2) По условию задачи диагональ $AC$ образует с боковой стороной $AB$ угол $32^\circ$. Это значит, что $\angle BAC = 32^\circ$.

3) Угол $BAD$ состоит из двух углов: $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Мы можем найти величину угла $\angle CAD$, вычтя из общего угла $BAD$ известную часть:
$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 78^\circ - 32^\circ = 46^\circ$.

4) Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
Следовательно, искомый угол между диагональю и меньшим основанием ($\angle BCA$) равен углу между диагональю и большим основанием ($\angle CAD$):
$\angle BCA = \angle CAD = 46^\circ$.

Ответ: 46

Источник: ФИПИ