Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Пусть $AC$ — его диагональ. По условию задачи прямоугольник вписан в окружность. Из свойств геометрии известно, что центр окружности, описанной около прямоугольника, лежит в точке пересечения его диагоналей, а сама диагональ является диаметром этой окружности.

2. Таким образом, диагональ прямоугольника $AC$ равна диаметру окружности: $AC = 13$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Пусть $\alpha$ — угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$. По условию $\sin \alpha = \frac{5}{13}$.

4. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\alpha$ противолежащим катетом является сторона $BC$, а гипотенузой — диагональ $AC$:
$\sin \alpha = \frac{BC}{AC}$.
Подставим известные значения:
$\frac{5}{13} = \frac{BC}{13}$.
Отсюда находим сторону $BC$:
$BC = 5$.

5. Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $AB$, используя теорему Пифагора для треугольника $ABC$:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 + 5^2 = 13^2$
$AB^2 + 25 = 169$
$AB^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$.

6. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = AB \cdot BC$
$S = 12 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ