Задание 17

Четырёхугольники и многоугольники · 357 заданий

Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 22, BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Сторона квадрата равна 11 √(2). Найдите диагональ этого квадрата.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники

Задание №17 — Геометрия

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен . Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ . Пусть $AC$ — его диагональ. По условию задачи прямоугольник вписан в окружность. Из свойств геометрии известно, что центр окружности, описанной около прямоугольника, лежит в точке пересечения его диагоналей, а сама диагональ является диаметром этой окружности.

2. Таким образом, диагональ прямоугольника $AC$ равна диаметру окружности: $AC = 13$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ , где $\angle B = 90^\circ$ . Пусть $\alpha$ — угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ . По условию $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ .

4. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\alpha$ противолежащим катетом является сторона $BC$ , а гипотенузой — диагональ $AC$ :
$\sin \alpha = \frac{BC}{AC}$ .
Подставим известные значения:
$\frac{5}{13} = \frac{BC}{13}$ .
Отсюда находим сторону $BC$ :
$BC = 5$ .

5. Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $AB$ , используя теорему Пифагора для треугольника $ABC$ :
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 + 5^2 = 13^2$
$AB^2 + 25 = 169$
$AB^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$ .

6. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:
$S = AB \cdot BC$
$S = 12 \cdot 5 = 60$ .

Ответ: 60

Источник: ФИПИ