Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C, D$. Пусть $AC$ — диагональ прямоугольника. По условию задачи, синус угла между стороной и диагональю равен $0,6$. Пусть это будет угол $\angle CAD$, тогда $\sin \angle CAD = 0,6$.

2. Вспомним важное свойство: около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника является диаметром этой окружности. По условию диаметр равен $10$, следовательно, диагональ $AC = 10$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $CD$ является противолежащим катетом для угла $\angle CAD$, а $AC$ — гипотенузой. По определению синуса:
$\sin \angle CAD = \frac{CD}{AC}$
Отсюда найдем сторону $CD$:
$CD = AC \cdot \sin \angle CAD = 10 \cdot 0,6 = 6$.

4. Теперь найдем вторую сторону прямоугольника $AD$ по теореме Пифагора в треугольнике $ACD$:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$
$AD^2 + 6^2 = 10^2$
$AD^2 + 36 = 100$
$AD^2 = 100 - 36 = 64$
$AD = \sqrt{64} = 8$.

5. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его смежных сторон:
$S = AD \cdot CD$
$S = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48

Источник: ФИПИ