Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим ромб. По условию один из его углов равен $118^{\circ}$. Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, мы можем найти второй угол ромба:
$180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$.
Таким образом, у ромба два тупых угла по $118^{\circ}$ и два острых угла по $62^{\circ}$.

2) На рисунке изображена большая диагональ ромба. Из свойств ромба известно, что диагонали являются биссектрисами его углов. Большая диагональ соединяет вершины острых углов. Значит, она делит острый угол $62^{\circ}$ пополам:
$62^{\circ} : 2 = 31^{\circ}$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ромба, частью стороны и частью диагонали. На рисунке искомый угол — это угол между высотой и диагональю.
Пусть $H$ — точка пересечения высоты со стороной ромба, $A$ — вершина острого угла, из которой выходит диагональ, а $O$ — точка пересечения высоты и диагонали. Однако проще рассмотреть треугольник, образованный высотой, выходящей из вершины тупого угла к противоположной стороне.

4) Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника. Высота перпендикулярна стороне ромба (образует угол $90^{\circ}$). Диагональ образует со стороной ромба угол $31^{\circ}$ (как мы выяснили в шаге 2).
Рассмотрим треугольник, в котором одна сторона — это часть диагонали, вторая — высота, а третья — часть стороны ромба. В этом прямоугольном треугольнике один острый угол равен $31^{\circ}$. Тогда искомый угол между высотой и диагональю равен:
$90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ}$.

Ответ: 59

Источник: ФИПИ