Задание №18 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо найти радиусы обоих кругов, используя клетки на рисунке, а затем сравнить их площади.

1) Сначала определим радиус меньшего круга. По рисунку видно, что его центр находится в узле сетки, а сама окружность проходит через соседние узлы. Расстояние от центра до края круга составляет $1$ клетку. Обозначим радиус меньшего круга как $r = 1$.

2) Теперь определим радиус большего круга. Посчитаем количество клеток от его центра до края по горизонтали или вертикали. Мы видим, что радиус большего круга составляет $3$ клетки. Обозначим его как $R = 3$.

3) Вспомним формулу площади круга: $S = \pi \cdot R^2$.
Площадь меньшего круга равна: $S_1 = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
Площадь большего круга равна: $S_2 = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$.

4) Чтобы узнать, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего, нужно разделить $S_2$ на $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9\pi}{\pi} = 9$.

Важное замечание: Все круги подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (отношения их линейных размеров, в данном случае — радиусов). Так как радиус большего круга в $3$ раза больше радиуса меньшего ($3 : 1$), то его площадь будет больше в $3^2 = 9$ раз.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ