Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к стороне $AB$. По условию задачи угол между этим перпендикуляром и одной из диагоналей равен $35^{\circ}$. Пусть $\angle HOB = 35^{\circ}$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHB$ (угол $H$ равен $90^{\circ}$, так как $OH$ — перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, поэтому мы можем найти угол $HBO$:
$\angle HBO = 90^{\circ} - \angle HOB = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$.

3) Вспомним свойства ромба: диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Следовательно, весь угол $B$ ромба равен:
$\angle B = 2 \cdot \angle HBO = 2 \cdot 55^{\circ} = 110^{\circ}$.

4) У ромба, как и у любого параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Найдём соседний угол $A$:
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.

5) Мы получили два угла ромба: $110^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Так как в задаче спрашивается величина острого угла, выбираем меньшее значение.

Ответ: 70

Источник: ФИПИ