Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции $ABCD$. По условию трапеция равнобедренная, значит, углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle BAD = \angle D = 74^\circ$.

2) Угол $BAD$ состоит из двух частей: угла $BAC$, образованного стороной $AB$ и диагональю $AC$, и угла $CAD$, образованного диагональю $AC$ и основанием $AD$. По условию $\angle BAC = 21^\circ$. Найдём угол $CAD$:
$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 74^\circ - 21^\circ = 53^\circ$.

3) Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны по определению. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
Угол между диагональю и меньшим основанием — это угол $BCA$. Он является накрест лежащим для угла $CAD$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

4) Таким образом:
$\angle BCA = \angle CAD = 53^\circ$.

Ответ: 53

Источник: ФИПИ