Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде (собственная скорость лодки). По условию задачи скорость течения реки равна $2$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $(x + 2)$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $(x - 2)$ км/ч.

Лодка прошла $297$ км в каждом направлении. Время, затраченное на путь, находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.
Время движения против течения: $t_1 = \frac{297}{x - 2}$ ч.
Время движения по течению: $t_2 = \frac{297}{x + 2}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $3$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{297}{x - 2} - \frac{297}{x + 2} = 3$

Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{99}{x - 2} - \frac{99}{x + 2} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$:
$\frac{99(x + 2) - 99(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1$
$\frac{99x + 198 - 99x + 198}{x^2 - 4} = 1$
$\frac{396}{x^2 - 4} = 1$

Отсюда получаем уравнение:
$x^2 - 4 = 396$
$x^2 = 400$
$x_1 = 20$
$x_2 = -20$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 20$. При этом значении знаменатели исходного уравнения не равны нулю ($20 \neq 2$ и $20 \neq -2$).

Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна $20$ км/ч.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ