Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель, используя таблицу «Скорость, Время, Расстояние».

1. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который едет медленнее). Тогда скорость первого велосипедиста, по условию задачи, равна $x + 10$ км/ч.

2. Оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние — $60$ км. Выразим время, затраченное каждым из них на путь:
Время первого велосипедиста: $t_1 = \frac{60}{x + 10}$ ч.
Время второго велосипедиста: $t_2 = \frac{60}{x}$ ч.

3. По условию задачи первый велосипедист приехал к финишу на $3$ часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на $3$ часа. Составим уравнение:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 3$

4. Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 10} = 1$

5. Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 10)$:
$\frac{20(x + 10) - 20x}{x(x + 10)} = 1$
$\frac{20x + 200 - 20x}{x^2 + 10x} = 1$
$\frac{200}{x^2 + 10x} = 1$

6. Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 10x = 200$
$x^2 + 10x - 200 = 0$

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
$x_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-10 - 30}{2} = -20$

8. Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна $10$ км/ч.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ