Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (того, кто пришёл к финишу вторым). Тогда скорость первого велосипедиста, по условию задачи, равна $x + 2$ км/ч.

Оба велосипедиста преодолели дистанцию в $224$ км. Выразим время, затраченное каждым из них на путь:
1) Время первого велосипедиста: $t_1 = \frac{224}{x + 2}$ часов.
2) Время второго велосипедиста: $t_2 = \frac{224}{x}$ часов.

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на $2$ часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на $2$ часа. Составим уравнение:
$\frac{224}{x} - \frac{224}{x + 2} = 2$

Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 2} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 2)$:
$\frac{112(x + 2) - 112x}{x(x + 2)} = 1$
$\frac{112x + 224 - 112x}{x^2 + 2x} = 1$
$\frac{224}{x^2 + 2x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 2x = 224$
$x^2 + 2x - 224 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900$
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 + 30}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-2 - 30}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как скорость велосипедиста не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна $14$ км/ч.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ