Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно: $y = x^{2} + 6x + 7$ при $x \geq -4$ и $y = x + 10$ при $x < -4$.

1) Часть $y = x^{2} + 6x + 7$ при $x \geq -4$ — парабола ветвями вверх.
Вершина: $x_0 = -\frac{6}{2} = -3$, $y_0 = 9 - 18 + 7 = -2$, то есть $(-3;\,-2)$.
На левой границе $x = -4$: $y = 16 - 24 + 7 = -1$; точка $(-4;\,-1)$ входит в график (так как $x = -4$ включено). Значит эта часть начинается в точке $(-4;\,-1)$, опускается до вершины $(-3;\,-2)$ и уходит вверх.

2) Часть $y = x + 10$ при $x < -4$ — луч прямой.
При $x = -4$: $y = 6$, но точка $(-4;\,6)$ выколота (так как $x < -4$ строго).
При $x \to -\infty$ значения убывают до $-\infty$. Значит этот луч принимает все значения $y < 6$, каждое ровно один раз.

3) Найдём число общих точек графика с прямой $y = m$.
Парабола (при $x \geq -4$, корни $x = -3 \pm \sqrt{m+2}$, левый корень попадает в область только при $m \leq -1$): при $m < -2$ — 0 точек; при $m = -2$ — 1 точка (вершина); при $-2 < m \leq -1$ — 2 точки; при $m > -1$ — 1 точка.
Луч (при $x < -4$): при $m < 6$ — 1 точка; при $m \geq 6$ — 0 точек.

Сложим количество точек:
— при $m < -2$: $0 + 1 = 1$;
— при $m = -2$: $1 + 1 = 2$;
— при $-2 < m \leq -1$: $2 + 1 = 3$;
— при $-1 < m < 6$: $1 + 1 = 2$;
— при $m = 6$: $1 + 0 = 1$;
— при $m > 6$: $1 + 0 = 1$.

Ровно две общие точки получаются при $m = -2$ и при $-1 < m < 6$.

Ответ: $m = -2$ или $-1 < m < 6$; то есть $\{-2\} \cup (-1;\,6)$.

Источник: ФИПИ