Задание 22

Построение графика функции · 157 заданий

Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции {l y = x² + 6 x + 7; x + 10 & при; при & x ⩾ - 4; x < - 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = x² + 14 x - 3 | x + 8 | + 48 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 6 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x - 3 | - x² + 8 x - 15. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Лёгкое
Постройте график функции y = x | x | + 2 | x | - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x + 6 | - x² - 11 x - 30. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 2 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x + 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции {l y = - x² + 8 x - 17; - x - 2 & при; при & x ⩾ 2; x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = x² - 9 x - 2 | x - 4 | + 20 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Лёгкое
Постройте график функции y = ((0,5 x² + x) · | x |)/(x + 2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Функции и графики

Задание №22 — Функции

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}x^{2} + 6 x + 7 \\ x + 10\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x \geq - 4, \\ x < - 4.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Функция задана кусочно: $y = x^{2} + 6x + 7$ при $x \geq -4$ и $y = x + 10$ при $x < -4$ .

1) Часть $y = x^{2} + 6x + 7$ при $x \geq -4$ — парабола ветвями вверх.
Вершина: $x_0 = -\frac{6}{2} = -3$ , $y_0 = 9 - 18 + 7 = -2$ , то есть $(-3;\,-2)$ .
На левой границе $x = -4$ : $y = 16 - 24 + 7 = -1$ ; точка $(-4;\,-1)$ входит в график (так как $x = -4$ включено). Значит эта часть начинается в точке $(-4;\,-1)$ , опускается до вершины $(-3;\,-2)$ и уходит вверх.

2) Часть $y = x + 10$ при $x < -4$ — луч прямой.
При $x = -4$ : $y = 6$ , но точка $(-4;\,6)$ выколота (так как $x < -4$ строго).
При $x \to -\infty$ значения убывают до $-\infty$ . Значит этот луч принимает все значения $y < 6$ , каждое ровно один раз.

3) Найдём число общих точек графика с прямой $y = m$ .
Парабола (при $x \geq -4$ , корни $x = -3 \pm \sqrt{m+2}$ , левый корень попадает в область только при $m \leq -1$ ): при $m < -2$ — 0 точек; при $m = -2$ — 1 точка (вершина); при $-2 < m \leq -1$ — 2 точки; при $m > -1$ — 1 точка.
Луч (при $x < -4$ ): при $m < 6$ — 1 точка; при $m \geq 6$ — 0 точек.

Сложим количество точек:
— при $m < -2$ : $0 + 1 = 1$ ;
— при $m = -2$ : $1 + 1 = 2$ ;
— при $-2 < m \leq -1$ : $2 + 1 = 3$ ;
— при $-1 < m < 6$ : $1 + 1 = 2$ ;
— при $m = 6$ : $1 + 0 = 1$ ;
— при $m > 6$ : $1 + 0 = 1$ .

Ровно две общие точки получаются при $m = -2$ и при $-1 < m < 6$ .

Ответ: $m = -2$ или $-1 < m < 6$ ; то есть $\{-2\} \cup (-1;\,6)$ .

Источник: ФИПИ