Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} + 14x - 3|x + 8| + 48$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Раскрытие модуля:
Выражение под модулем $x + 8$ меняет знак в точке $x = -8$.
Случай 1: $x + 8 \ge 0$, то есть $x \ge -8$.
Тогда $|x + 8| = x + 8$, и функция принимает вид:
$y = x^{2} + 14x - 3(x + 8) + 48 = x^{2} + 14x - 3x - 24 + 48 = x^{2} + 11x + 24$.
Случай 2: $x + 8 < 0$, то есть $x < -8$.
Тогда $|x + 8| = -(x + 8)$, и функция принимает вид:
$y = x^{2} + 14x + 3(x + 8) + 48 = x^{2} + 14x + 3x + 24 + 48 = x^{2} + 17x + 72$.

2. Исследование графиков:
График функции состоит из двух частей парабол, «склеенных» в точке $x = -8$.
Найдём значение функции в точке стыка: $y(-8) = (-8)^{2} + 14 \cdot (-8) - 3| -8 + 8 | + 48 = 64 - 112 + 48 = 0$.
Координаты вершин парабол:
Для первой параболы $y = x^{2} + 11x + 24$ при $x \ge -8$:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2} = -5,5$.
$y_{0} = (-5,5)^{2} + 11 \cdot (-5,5) + 24 = 30,25 - 60,5 + 24 = -6,25$.
Для второй параболы $y = x^{2} + 17x + 72$ при $x < -8$:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{17}{2} = -8,5$.
$y_{0} = (-8,5)^{2} + 17 \cdot (-8,5) + 72 = 72,25 - 144,5 + 72 = -0,25$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
— Если $m < -6,25$, точек нет.
— Если $m = -6,25$, одна точка (вершина первой параболы).
— Если $-6,25 < m < -0,25$, две точки.
— Если $m = -0,25$, три точки (вершина второй параболы и две точки на ветвях первой).
— Если $-0,25 < m < 0$, четыре точки.
— Если $m = 0$, три точки (точка стыка парабол и по одной точке на внешних ветвях).
— Если $m > 0$, две точки.

Таким образом, ровно три общие точки график имеет при $m = -0,25$ и $m = 0$.

Ответ: -0,25; 0

Источник: ФИПИ