Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Раскроем модуль в функции $y = |x|(x - 1) - 6x$.

1) При $x \geq 0$: $|x| = x$, поэтому $y = x(x - 1) - 6x = x^{2} - 7x$ — парабола ветвями вверх.
Вершина: $x_0 = 3,5$, $y_0 = 12,25 - 24,5 = -12,25$, точка $(3,5;\,-12,25)$. Нули: $x = 0$ и $x = 7$.

2) При $x < 0$: $|x| = -x$, поэтому $y = -x(x - 1) - 6x = -x^{2} - 5x$ — парабола ветвями вниз.
Вершина: $x_0 = -2,5$, $y_0 = -6,25 + 12,5 = 6,25$, точка $(-2,5;\,6,25)$. Нули: $x = 0$ и $x = -5$.

Части склеиваются в точке $(0;\,0)$. Левая часть (при $x < 0$) поднимается из $-\infty$ до вершины $(-2,5;\,6,25)$, затем спускается к $(0;\,0)$. Правая часть (при $x \geq 0$) опускается от $(0;\,0)$ до вершины $(3,5;\,-12,25)$ и уходит вверх.

Определим число общих точек с прямой $y = m$.
Правая часть ($x \geq 0$): при $m < -12,25$ — 0; при $m = -12,25$ — 1 (вершина); при $-12,25 < m < 0$ — 2; при $m = 0$ — 2 (точки $x = 0$ и $x = 7$); при $m > 0$ — 1.
Левая часть ($x < 0$): при $m > 6,25$ — 0; при $m = 6,25$ — 1 (вершина); при $0 < m < 6,25$ — 2; при $m = 0$ — 1 (точка $x = -5$); при $m < 0$ — 1 (нисходящая ветвь слева).

Сложим количество точек:
— при $m < -12,25$: $0 + 1 = 1$;
— при $m = -12,25$: $1 + 1 = 2$;
— при $-12,25 < m < 0$: $2 + 1 = 3$;
— при $m = 0$: $2 + 1 = 3$;
— при $0 < m < 6,25$: $1 + 2 = 3$;
— при $m = 6,25$: $1 + 1 = 2$;
— при $m > 6,25$: $1 + 0 = 1$.

Ровно две общие точки — при $m = -12,25$ и $m = 6,25$.

Ответ: $-12,25;\ 6,25$.

Источник: ФИПИ