Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 4|x - 3| - x^2 + 8x - 15$ раскроем модуль по определению:

1) Если $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$, то $|x - 3| = x - 3$.
Функция принимает вид:
$y = 4(x - 3) - x^2 + 8x - 15 = 4x - 12 - x^2 + 8x - 15 = -x^2 + 12x - 27$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \cdot (-1)} = 6$;
$y_0 = -(6)^2 + 12 \cdot 6 - 27 = -36 + 72 - 27 = 9$.
Вершина параболы — точка $(6; 9)$.
При $x = 3$: $y = -(3)^2 + 12 \cdot 3 - 27 = -9 + 36 - 27 = 0$.

2) Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.
Функция принимает вид:
$y = 4(3 - x) - x^2 + 8x - 15 = 12 - 4x - x^2 + 8x - 15 = -x^2 + 4x - 3$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины:
$x_0 = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2$;
$y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
Вершина параболы — точка $(2; 1)$.
При $x = 3$: $y = -(3)^2 + 4 \cdot 3 - 3 = -9 + 12 - 3 = 0$.

График функции состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке $(3; 0)$. Левая часть имеет вершину в точке $(2; 1)$, правая — в точке $(6; 9)$.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через характерные точки графика:
— Через вершину одной из парабол, если при этом значении $y$ другая часть графика пересекается в двух точках.
— Через точку стыка парабол, если в этой области есть еще две точки пересечения.

Проанализируем значения $m$:
1) При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(3; 0)$. Уравнение $-x^2 + 12x - 27 = 0$ дает корни $x = 3$ и $x = 9$. Уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0$ дает корни $x = 3$ и $x = 1$. Итого три точки: $x = 1, x = 3, x = 9$. Значит, $m = 0$ подходит.
2) При $m = 1$ прямая проходит через вершину левой параболы $(2; 1)$. В этой точке одна общая точка. Справа от $x = 3$ парабола $y = -x^2 + 12x - 27$ пересекается прямой $y = 1$ в двух точках (так как вершина этой параболы $9 > 1$). Итого три точки. Значит, $m = 1$ подходит.
3) При $m = 9$ прямая проходит через вершину правой параболы $(6; 9)$. Это одна точка, а левая парабола выше $y = 1$ не поднимается. Итого одна точка. Не подходит.

Таким образом, ровно три общие точки достигаются при $m = 0$ и $m = 1$.

Ответ: 0; 1

Источник: ФИПИ