Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| + 2|x| - 3x$ необходимо раскрыть модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

Шаг 1. Раскрытие модуля.
Вспомним определение модуля: $|x| = x$, если $x \ge 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.
1) Если $x \ge 0$, то функция принимает вид:
$y = x \cdot x + 2 \cdot x - 3x = x^2 + 2x - 3x = x^2 - x$.
2) Если $x < 0$, то функция принимает вид:
$y = x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 3x = -x^2 - 2x - 3x = -x^2 - 5x$.

Таким образом, функция задаётся кусочно:
$y = \begin{cases} x^2 - x, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2 - 5x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Шаг 2. Исследование частей графика.
Обе части функции представляют собой параболы.
1) Для $y = x^2 - x$ (при $x \ge 0$):
Ветви направлены вверх. Вершина имеет абсциссу $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$.
Ордината вершины: $y_0 = (0,5)^2 - 0,5 = 0,25 - 0,5 = -0,25$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = 1$.

2) Для $y = -x^2 - 5x$ (при $x < 0$):
Ветви направлены вниз. Вершина имеет абсциссу $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2,5$.
Ордината вершины: $y_0 = -(-2,5)^2 - 5 \cdot (-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $-x(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = -5$.

Шаг 3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
— При $m > 6,25$ прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).
— При $m = 6,25$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь (2 точки).
— При $-0,25 < m < 6,25$ прямая пересекает график в 3 точках.
— При $m = -0,25$ прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь (2 точки).
— При $m < -0,25$ прямая пересекает только левую ветвь параболы (1 точка).

Следовательно, ровно две общие точки будут при $m = 6,25$ и $m = -0,25$.

Ответ: -0,25; 6,25

Источник: ФИПИ