Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает первый рабочий за один час (его производительность). Тогда, так как он делает на 5 деталей больше, чем второй, производительность второго рабочего равна $x - 5$ деталей в час.

По условию задачи оба рабочих выполняют заказ объёмом 180 деталей. Вспомним формулу времени: $t = \frac{A}{P}$, где $A$ — работа (количество деталей), а $P$ — производительность.

1) Время, затраченное первым рабочим на выполнение заказа: $t_1 = \frac{180}{x}$ часов.
2) Время, затраченное вторым рабочим на выполнение заказа: $t_2 = \frac{180}{x - 5}$ часов.

Известно, что первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Это значит, что время второго рабочего больше времени первого на 3 часа. Составим уравнение:
$\frac{180}{x - 5} - \frac{180}{x} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить вычисления:
$\frac{60}{x - 5} - \frac{60}{x} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 5)$:
$\frac{60x - 60(x - 5)}{x(x - 5)} = 1$
$\frac{60x - 60x + 300}{x^2 - 5x} = 1$
$\frac{300}{x^2 - 5x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 5$):
$x^2 - 5x = 300$
$x^2 - 5x - 300 = 0$

Найдём дискриминант уравнения:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как производительность рабочего не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи. Значит, производительность первого рабочего равна 20 деталей в час.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ