Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который пришёл к финишу вторым). Тогда скорость первого велосипедиста равна $x + 5$ км/ч, так как по условию он едет на 5 км/ч быстрее.

Оба велосипедиста преодолели расстояние, равное $180$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — путь, $v$ — скорость.

1) Время, затраченное вторым велосипедистом: $t_2 = \frac{180}{x}$ часов.
2) Время, затраченное первым велосипедистом: $t_1 = \frac{180}{x + 5}$ часов.

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на 3 часа. Составим уравнение:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить вычисления:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 5)$:
$\frac{60(x + 5) - 60x}{x(x + 5)} = 1$
$\frac{60x + 300 - 60x}{x^2 + 5x} = 1$
$\frac{300}{x^2 + 5x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 5x = 300$
$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна 15 км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ