Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 4 |x + 6| - x^{2} - 11x - 30$ необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Случай $x + 6 \geq 0$, то есть $x \geq -6$.
В этом случае $|x + 6| = x + 6$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 4(x + 6) - x^{2} - 11x - 30$
$y = 4x + 24 - x^{2} - 11x - 30$
$y = -x^{2} - 7x - 6$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3,5$
$y_{0} = -(-3,5)^{2} - 7 \cdot (-3,5) - 6 = -12,25 + 24,5 - 6 = 6,25$
Вершина параболы: $(-3,5; 6,25)$.
Точка стыка при $x = -6$: $y = -(-6)^{2} - 7 \cdot (-6) - 6 = -36 + 42 - 6 = 0$.

2. Случай $x + 6 < 0$, то есть $x < -6$.
В этом случае $|x + 6| = -(x + 6)$. Подставим в уравнение:
$y = 4(-(x + 6)) - x^{2} - 11x - 30$
$y = -4x - 24 - x^{2} - 11x - 30$
$y = -x^{2} - 15x - 54$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем её вершину:
$x_{0} = -\frac{-15}{2 \cdot (-1)} = -7,5$
$y_{0} = -(-7,5)^{2} - 15 \cdot (-7,5) - 54 = -56,25 + 112,5 - 54 = 2,25$
Вершина параболы: $(-7,5; 2,25)$.
Точка стыка при $x = -6$: $y = -(-6)^{2} - 15 \cdot (-6) - 54 = -36 + 90 - 54 = 0$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
График представляет собой две части парабол, соединяющиеся в точке $(-6; 0)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Будем мысленно перемещать её снизу вверх:
— При $m < 0$ прямая пересекает две ветви парабол (2 точки).
— При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(-6; 0)$ и пересекает две внешние ветви. Итого 3 точки.
— При $0 < m < 2,25$ прямая пересекает график в 4 точках.
— При $m = 2,25$ прямая проходит через вершину левой параболы, точку стыка (уже выше неё) и две ветви правой параболы. Итого 3 точки.
— При $2,25 < m < 6,25$ прямая пересекает только правую параболу в 2 точках.
— При $m = 6,25$ прямая касается вершины правой параболы (1 точка).
— При $m > 6,25$ общих точек нет.

Таким образом, ровно три общие точки график имеет при $m = 0$ и $m = 2,25$.

Ответ: 0; 2,25

Источник: ФИПИ