Построение графика функции · 157 заданий
- Задание №22№22Сложное
Постройте график функции {l y = x² + 6 x + 7; x + 10 & при; при & x ⩾ - 4; x < - 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = x² + 14 x - 3 | x + 8 | + 48 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Сложное
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 6 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x - 3 | - x² + 8 x - 15. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Лёгкое
Постройте график функции y = x | x | + 2 | x | - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x + 6 | - x² - 11 x - 30. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 2 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x + 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Сложное
Постройте график функции {l y = - x² + 8 x - 17; - x - 2 & при; при & x ⩾ 2; x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Среднее
Постройте график функции y = x² - 9 x - 2 | x - 4 | + 20 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
- Задание №22№22Лёгкое
Постройте график функции y = ((0,5 x² + x) · | x |)/(x + 2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Функции и графики
Постройте график функции
y=4∣x+6∣−x2−11x−30.
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение
Решение.
Для построения графика функции y=4∣x+6∣−x2−11x−30 необходимо раскрыть модуль по определению. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
1. Случай x+6≥0, то есть x≥−6.
В этом случае ∣x+6∣=x+6. Подставим это в уравнение функции:
y=4(x+6)−x2−11x−30
y=4x+24−x2−11x−30
y=−x2−7x−6
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
x0=−2ab=−2⋅(−1)−7=−3,5
y0=−(−3,5)2−7⋅(−3,5)−6=−12,25+24,5−6=6,25
Вершина параболы: (−3,5;6,25).
Точка стыка при x=−6: y=−(−6)2−7⋅(−6)−6=−36+42−6=0.
2. Случай x+6<0, то есть x<−6.
В этом случае ∣x+6∣=−(x+6). Подставим в уравнение:
y=4(−(x+6))−x2−11x−30
y=−4x−24−x2−11x−30
y=−x2−15x−54
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем её вершину:
x0=−2⋅(−1)−15=−7,5
y0=−(−7,5)2−15⋅(−7,5)−54=−56,25+112,5−54=2,25
Вершина параболы: (−7,5;2,25).
Точка стыка при x=−6: y=−(−6)2−15⋅(−6)−54=−36+90−54=0.
3. Анализ количества общих точек с прямой y=m.
График представляет собой две части парабол, соединяющиеся в точке (−6;0).
Прямая y=m — это горизонтальная линия. Будем мысленно перемещать её снизу вверх:
— При m<0 прямая пересекает две ветви парабол (2 точки).
— При m=0 прямая проходит через точку стыка (−6;0) и пересекает две внешние ветви. Итого 3 точки.
— При 0<m<2,25 прямая пересекает график в 4 точках.
— При m=2,25 прямая проходит через вершину левой параболы, точку стыка (уже выше неё) и две ветви правой параболы. Итого 3 точки.
— При 2,25<m<6,25 прямая пересекает только правую параболу в 2 точках.
— При m=6,25 прямая касается вершины правой параболы (1 точка).
— При m>6,25 общих точек нет.
Таким образом, ровно три общие точки график имеет при m=0 и m=2,25.
Ответ: 0; 2,25
Источник: ФИПИ