Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = |x|(x - 1) - 2x$ сначала раскроем модуль по определению:

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = x(x - 1) - 2x = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} = 1,5$; $y_0 = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $y = -x(x - 1) - 2x = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{-2} = -0,5$; $y_0 = -(-0,5)^2 - (-0,5) = -0,25 + 0,5 = 0,25$.

Построим график. Он состоит из двух частей парабол, которые «склеиваются» в точке $(0; 0)$, так как при $x = 0$ обе формулы дают $y = 0$.
Левая ветвь (при $x < 0$) выходит из начала координат, поднимается до вершины $(-0,5; 0,25)$ и уходит вниз в бесконечность.
Правая ветвь (при $x \geq 0$) выходит из начала координат, опускается до вершины $(1,5; -2,25)$ и уходит вверх в бесконечность.

Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта линия пересекает график ровно в двух точках.

Проанализируем количество пересечений при разных $m$:
— При $m < -2,25$ прямая пересекает только левую ветвь параболы (1 точка).
— При $m = -2,25$ прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь (2 точки). Это искомое значение.
— При $-2,25 < m < 0$ прямая пересекает график в трех точках.
— При $m = 0$ прямая проходит через точку $(0; 0)$ и еще две точки на ветвях (всего 3 точки).
— При $0 < m < 0,25$ прямая пересекает график в трех точках.
— При $m = 0,25$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь (2 точки). Это искомое значение.
— При $m > 0,25$ прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $m = -2,25$ и $m = 0,25$.

Ответ: -2,25; 0,25

Источник: ФИПИ