Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = |x|(x + 1) - 3x$ сначала раскроем модуль по определению. Рассмотрим два случая:

1) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = x(x + 1) - 3x = x^2 + x - 3x = x^2 - 2x$.
Графиком является часть параболы с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$;
$y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$.
Вершина в точке $(1; -1)$. Дополнительные точки для этой части: $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 3)$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = -x(x + 1) - 3x = -x^2 - x - 3x = -x^2 - 4x$.
Графиком является часть параболы с ветвями, направленными вниз. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$;
$y_0 = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина в точке $(-2; 4)$. Дополнительные точки для этой части: $(0; 0)$, $(-4; 0)$, $(-1; 3)$.

Объединив эти части, мы получаем непрерывный график, состоящий из двух фрагментов парабол, которые стыкуются в точке $(0; 0)$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная линия) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проанализируем движение прямой $y = m$ снизу вверх:
— При $m < -1$ прямая пересекает только левую ветвь графика (1 точка).
— При $m = -1$ прямая проходит через вершину правой параболы и пересекает левую ветвь (2 точки).
— При $-1 < m < 0$ прямая пересекает график в 3 точках.
— При $m = 0$ прямая проходит через точку стыка $(0; 0)$ и еще две точки на ветвях (3 точки).
— При $0 < m < 4$ прямая пересекает график в 3 точках.
— При $m = 4$ прямая проходит через вершину левой параболы и пересекает правую ветвь (2 точки).
— При $m > 4$ прямая пересекает только правую ветвь графика (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m = -1$ и $m = 4$.

Ответ: -1; 4.

Источник: ФИПИ