Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города В в город А (именно её нам нужно найти). Тогда, так как на обратном пути он увеличил скорость на 8 км/ч по сравнению с путём «туда», скорость на пути из А в В была на 8 км/ч меньше, то есть $(x - 8)$ км/ч.

1. Время, затраченное на путь из А в В, равно отношению расстояния к скорости:
$t_1 = \frac{209}{x - 8}$ (часов).

2. Время, проведённое непосредственно в движении на обратном пути (из В в А), равно:
$t_{движ} = \frac{209}{x}$ (часов).

3. По условию задачи, на обратном пути велосипедист сделал остановку на 8 часов, и общее время в пути (движение + стоянка) оказалось равно времени $t_1$. Составим уравнение:
$\frac{209}{x} + 8 = \frac{209}{x - 8}$

4. Перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$\frac{209}{x - 8} - \frac{209}{x} - 8 = 0$
$\frac{209x - 209(x - 8) - 8x(x - 8)}{x(x - 8)} = 0$

5. Раскроем скобки в числителе:
$209x - 209x + 1672 - 8x^2 + 64x = 0$
$-8x^2 + 64x + 1672 = 0$

6. Разделим обе части уравнения на $-8$, чтобы упростить вычисления:
$x^2 - 8x - 209 = 0$

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900$
$\sqrt{D} = 30$

8. Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{8 + 30}{2} = \frac{38}{2} = 19$
$x_2 = \frac{8 - 30}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

9. Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -11$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость на пути из В в А равна 19 км/ч.

Проверим условие: скорость «туда» была $19 - 8 = 11$ км/ч. Время «туда»: $209 / 11 = 19$ часов. Время «обратно»: $209 / 19 + 8 = 11 + 8 = 19$ часов. Времена равны.

Ответ: 19

Источник: ФИПИ