Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки (где $x > 0$). Тогда скорость теплохода по течению реки равна $15 + x$ км/ч, а скорость теплохода против течения реки равна $15 - x$ км/ч (при этом $x < 15$, так как теплоход смог вернуться обратно).

1. Найдём чистое время, которое теплоход провёл в движении. По условию он вернулся через 32 часа, но из них 11 часов он стоял. Значит, время в пути составляет:
$32 - 11 = 21$ (час).

2. Составим выражения для времени движения в каждую сторону:
— Время пути по течению: $\frac{140}{15 + x}$ часов.
— Время пути против течения: $\frac{140}{15 - x}$ часов.

3. Составим уравнение, зная, что общее время движения равно 21 часу:
$\frac{140}{15 + x} + \frac{140}{15 - x} = 21$

4. Разделим обе части уравнения на 7, чтобы упростить вычисления:
$\frac{20}{15 + x} + \frac{20}{15 - x} = 3$

5. Приведём дроби к общему знаменателю $(15 + x)(15 - x) = 225 - x^2$:
$\frac{20(15 - x) + 20(15 + x)}{225 - x^2} = 3$
$\frac{300 - 20x + 300 + 20x}{225 - x^2} = 3$
$\frac{600}{225 - x^2} = 3$

6. Решим полученное уравнение:
$3(225 - x^2) = 600$
$225 - x^2 = 200$
$x^2 = 225 - 200$
$x^2 = 25$

7. Уравнение имеет два корня: $x = 5$ и $x = -5$.
Так как скорость течения — величина положительная, нам подходит только $x = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ