Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция кусочно-заданная. Построим её график по частям.

1. Часть $y = -x^{2} + 8x - 17$ при $x \geq 2$.
Это часть параболы, ветви направлены вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$, $y_0 = -16 + 32 - 17 = -1$, то есть $(4; -1)$.
Дискриминант уравнения $-x^{2}+8x-17=0$ отрицателен, поэтому с осью $Ox$ парабола не пересекается.
На границе: $y(2) = -4 + 16 - 17 = -5$; точка $(2; -5)$ принадлежит графику. Симметрично $y(6) = -5$. Итак, часть параболы идёт от $(2; -5)$ вверх к вершине $(4; -1)$, затем вниз к $-\infty$.

2. Часть $y = -x - 2$ при $x < 2$.
Это луч. При $x = 0$ имеем $y = -2$; при $x = -2$ имеем $y = 0$. При $x = 2$ получилось бы $y = -4$, но неравенство строгое, поэтому точка $(2; -4)$ «выколотая». Луч идёт из выколотой точки $(2; -4)$ влево-вверх, принимая все значения $y > -4$.

Обратим внимание: в точке стыка $x = 2$ график имеет разрыв — правая часть даёт $y = -5$ (закрашенная), а левая приближается к $y = -4$ (выколотая). Значения $y$ из промежутка $(-5; -4]$ достигаются только параболой.

3. Число общих точек с прямой $y = m$ (снизу вверх):
— при $m < -5$: только правая ветвь параболы — 1 точка;
— при $m = -5$: парабола в точках $x = 2$ и $x = 6$, луч не задет — 2 точки;
— при $-5 < m < -4$: две ветви параболы, луч ещё не задет ($m \leq -4$) — 2 точки;
— при $m = -4$: две ветви параболы, а луч проходит через выколотую точку $(2; -4)$, пересечения там нет — 2 точки;
— при $-4 < m < -1$: две ветви параболы и луч — 3 точки;
— при $m = -1$: вершина параболы (1 точка) и луч (1 точка) — 2 точки;
— при $m > -1$: только луч — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки получаются при $-5 \leq m \leq -4$ и при $m = -1$.

Ответ: $-5 \leq m \leq -4$; $m = -1$.