Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) второй трубы. Тогда, согласно условию, первая труба пропускает на 15 литров в минуту меньше, то есть её производительность равна $x - 15$ литров в минуту.

Объём резервуара составляет 100 литров. Время, за которое труба заполняет резервуар, находится по формуле: $t = \frac{V}{v}$, где $V$ — объём, а $v$ — скорость наполнения.

1) Время работы второй трубы: $t_2 = \frac{100}{x}$ минут.
2) Время работы первой трубы: $t_1 = \frac{100}{x - 15}$ минут.

По условию задачи вторая труба заполняет резервуар на 6 минут быстрее, чем первая. Это значит, что разница между временем первой и второй трубы равна 6 минутам. Составим уравнение:
$\frac{100}{x - 15} - \frac{100}{x} = 6$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x - 15)$:
$\frac{100x - 100(x - 15)}{x(x - 15)} = 6$
$\frac{100x - 100x + 1500}{x^2 - 15x} = 6$
$\frac{1500}{x^2 - 15x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения вычислений:
$\frac{250}{x^2 - 15x} = 1$
$x^2 - 15x = 250$
$x^2 - 15x - 250 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) = 225 + 1000 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{15 + 35}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{15 - 35}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как скорость наполнения трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность второй трубы равна 25 литров в минуту.

Проверим: первая труба пропускает $25 - 15 = 10$ л/мин. Время первой: $100 / 10 = 10$ мин. Время второй: $100 / 25 = 4$ мин. Разница: $10 - 4 = 6$ минут. Условие выполняется.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ