Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \ge 0$.

1. Проанализируем структуру дроби. В числителе стоит отрицательное число $-10$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным.
Важно помнить: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Следовательно, наше неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x-3)^2 - 5 < 0$.

2. Решим полученное неравенство. Для этого сначала найдём корни уравнения $(x-3)^2 - 5 = 0$:
$(x-3)^2 = 5$.
Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x-3 = \sqrt{5}$ или $x-3 = -\sqrt{5}$.
Отсюда получаем два критических значения:
$x_1 = 3 + \sqrt{5}$
$x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

3. Рассмотрим выражение $f(x) = (x-3)^2 - 5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^2$ положителен).
Значения функции отрицательны ($< 0$) между корнями параболы.

4. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$.

Запишем этот результат в виде промежутка: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ